Sistemi di primo ordine
La forma generale di un sistema di primo ordine nel tempo è la seguente
con la variabile x(t) è rappresentato lo stato del sistema, con u(t) è rappresentato l'ingresso del sistema.
Nel dominio s di Laplace il comportamento di sistema dipende dal valore degli zeri e dei poli.
Trasformando l'equazione generale dal dominio del tempo a s otteniamo
andiamo quindi a cercare la funzione di trasferimento G(s) di questo sistema, per trovare la funzione di trasferimento del sistema si suppone che nell'istante iniziale lo stato valga 0
L'uscita risulterà quindi
e pertanto la funzione di trasferimento del sistema è:
Osservando la funzione di trasferimento si può affermare che il sistema è proprio poiché il grado relativo della funzione di trasferimento è 0. Questo sistema può diventare strettamente proprio se il coefficiente d è nullo quindi l'uscita del sistema non dipende dallo stato.
Il polo di questo sistema vale "a" quindi a=p.
Risposta al gradino unitario
A questo punto si antitrasforma l'uscita
Il primo termine rappresenta un gradino di ampiezza K, il secondo un'esponenziale che parte da H.
Si nota che per:
- a>0 l'esponenziale tende all'infinito e il sistema è instabile
- a<0 l'esponenziale tende a 0 e il sistema è stabile
Il valore del polo ricordando che p=a determina la velocità di risposta del sistema, per a<<0 il sistema tende velocemente all'equilibrio.
La costante di tempo di un sistema è il tempo che il sistema stabile impiegherebbe per raggiungere l'equilibrio se la sua risposta continuasse con la pendenza iniziale.
Ricordando che la costante di tempo del sistema è
Sapendo che a=p allora
Quindi l'equazione di uscita del sistema può anche essere scritta
- in s:
- in t:
Il guadagno in continua vale
Continuando a osservare l'equazione di uscita nel tempo del sistema
Posso ottenere che |K|=|H| se d è nullo. Quindi
Grafici della risposta nel tempo con:
- a,b concordi e a<0
- a,b discordi e a<0
Nel cado in cui d non sia nullo allora nell'istante 0 ho una brusca variazione dell'uscita
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Correggi gli errori così possostudiare stassera :)
RispondiElimina"possostudiare".......????
EliminaC'è un errore che correggerò al più presto, quando antitrasformo l'uscita del sistema scrivo che y(t)=K+He^(-at) mentre l'esponenziale non vuole il meno.
RispondiEliminaUn altro quando dico "Osservando la funzione di trasferimento si può affermare che il sistema è proprio poiché il grado relativo della funzione di trasferimento è 0. Questo sistema può diventare strettamente proprio se il coefficiente d è nullo quindi l'uscita del sistema non dipende dallo stato.", è errato dire che non dipende dallo stato ma invece ponendo nullo il coefficiente d l'uscita non dipende dall'ingresso.