Per tempi minori di 0 si suppone che la trasformata sia nulla.
La trasformata di Laplace è un'operazione lineare quindi gode delle seguenti proprietà:
Regole di trasformazione
Attraverso le regole di trasformazione più basilari è possibile trasformare funzioni più complesse:
- Trasformata del seno
- Trasformata del coseno
Una regola utile per la trasformazione è la seguente:
Teoremi sulla trasformata di Laplace
Traslazione nel tempo
Ipotesi:
Tesi:
Esempio:
Teorema della periodicità
Ipotesi:
Tesi:
Esempio:
Attenzione: il teorema è detto della periodicità quindi può essere applicato a tutte le funzioni periodiche ma non solo infatti entrambi gli esempi presentati sopra riportano funzioni non periodiche.
Teorema della derivata
Ipotesi:
Tesi:
Esempio:
Esempio:
Teorema del valore finale
Ipotesi:
Tesi:
Teorema del valore iniziale
Ipotesi:
Tesi:
Esempio:
Si vuole calcolare il valore iniziale e finale della funzione gradino
Attenzione:il teorema del valore finale non può essere applicato a funzioni periodiche.
Trasformata di un'onda quadra
Per trasformare un onda quadra che è una funzione periodica applico il teorema della periodicità.
Essendo la trasformata di Laplace un operazione lineare allora la trasformata dell'impulso è uguale alla somma delle trasformate delle funzioni che lo compongono
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